Comment
les étudiants, les lycéens et le grand public au Maroc
vont calculer la
circonférence et le rayon de la Terre,
le 21 juin 2020
Quand on fait des exposés sur l’astronomie musulmane, du temps de
son âge d’or, une des questions qui revient le plus souvent dans les débats, est la
suivante : Est-ce que les Anciens savaient que la Terre était ronde et
connaissaient-ils ses dimensions ?
Cette question est tout à fait légitime, car à l’époque les Anciens
ne disposaient ni d’avions ni de navettes spatiales comme Hubble pour voir la
Terre sous forme d’un globe et en
mesurer les dimensions.
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| FIG1: Photo de la Terre avec la lune par Hubble |
L’objectif de la
présente expérience est non seulement de répondre à ces questions, mais aussi
de faire faire dans les lycées et collèges
par les étudiants et élèves marocains, les mesures qui ont amené
les anciens astronomes, il y a plus de 2000 ans, à calculer la circonférence et
le rayon de la Terre. Toutefois, ces mesures peuvent être effectuées par le
grand public et en dehors des établissements scolaires.
Il s’agit donc
d’une initiative qui rassemble les étudiants et les élèves marocains de
différentes régions du Maroc, le même jour, autour d’un projet commun visant à
calculer la circonférence et le rayon de la Terre à partir de manipulations
simples mais pleines d’enseignements mathématique, géographique et historique.
Par quel tour de magie donc, les hommes « plaqués »
au sol et sans grands moyens, allaient-ils se former l’image de la Terre comme d’une
sphère qui flotte dans l’espace et en calculer les dimensions à l’aide de
quelques règles de trigonométrie et de calculs d’angles très simples ? Ces
mesures réalisées vont alors servir durant de nombreux siècles pour de multiples
applications dont les principales sont la cartographie, la géographie et la
navigation maritime. Nous allons suivre les raisonnements effectués, pas à pas,
et refaire dans différentes villes marocaines, par nos élèves, les observations
et les mesures, et ensuite les calculs
qui donnent la circonférence de la Terre.
Au début, une intuition…
Les anciens savants pensaient déjà que la Terre n’était pas plate,
à partir des constatations suivantes :
· Les voiles des
vaisseaux qui s’éloignent des côtes disparaissent petit à petit sans que ces vaisseaux
aient chaviré. De plus, un observateur posté en haut d’une colline verrait ces
vaisseaux plus longtemps qu’une personne du bord de la côte. Ce qui prouve une certaine
sphérité de la Terre.
·
La hauteur de l’étoile polaire, fixe dans le ciel
et dans le prolongement de l’axe des pôles, varie quand on se déplace du nord au sud.
·
L’ombre projetée de la Terre sur la Lune, à l’origine
des croissants de lune que nous observons régulièrement, a une forme d’arc circulaire.
Ce phénomène est à la base de notre propre calendrier.
Toutefois, ce sont les travaux
d’Ératosthène, un astronome grec moins connu que Pythagore ou Thalès mais tout
aussi génial qu’eux, réalisés il y a plus de 2000 ans qui ont conduit au calcul
de la circonférence de la Terre. Il s’agit de mesures de l’ombre d’une tige
verticale qui ont été faites à Alexandrie, un jour où les rayons du soleil
tombent perpendiculairement au sol à Syène (Assouan) en Égypte (en ce temps-là,
ce pays était une colonie grecque…).
Calcul de la
circonférence de la Terre
Comme nous allons le voir, ces calculs sont d’une grande
simplicité. Il faut seulement tenir compte de quelques notions de base :
- ·
A chaque instant donné, les rayons du soleil sont
rigoureusement parallèles. Du fait de la grande distance Terre-Soleil, les
rayons solaires arrivant sur Dakhla, Agadir, Casablanca ou Paris à un certain moment
sont parallèles entre eux.
- ·
Un méridien est un cercle qui passe par les deux pôles
de la Terre. Un parallèle est un cercle parallèle à l’équateur et perpendiculaire à l'axe des pôles (mesure des
latitudes).
- ·
Les calculs sont faits à midi solaire, c’est-à-dire
quand le soleil est au plus haut de la journée (à cet instant, il traverse le plan méridien du lieu de la mesure).
-
Les tropiques sont des cercles terrestres imaginaires
sur lesquels les rayons solaires tombent perpendiculairement au sol
une fois par an (Cancer au nord et Capricorne au sud) quand le soleil passe sur
le méridien du lieu d’observation. Pour le tropique du Cancer situé dans
l’hémisphère nord, cela se passe le 21 juin, à midi solaire. Ce tropique passe
à environ 30 kilomètres au sud de Dakhla au Maroc. Nous utiliserons cette
particularité pour nos mesures. La latitude de ce tropique est de 23°26’
 |
| LE TROPIQUE PASSE A PROXIMITE DE DAKHLA ET ASSOUAN |
Ératosthène avait
constaté (des voyageurs lui avaient dit) que le jour du solstice d’été,
c’est-à-dire le jour où le soleil est au plus haut dans le ciel, à midi
solaire, qui correspond au 21 juin, un bâton planté verticalement dans un puits
à Assouan n’a pas d’ombre visible. En d’autres termes, le rayon du soleil au
niveau du puits est perpendiculaire au sol et donc son prolongement passera par
le centre de la Terre. Le même jour et au même moment, les rayons, parallèles à
ceux d’Assouan, faisaient un angle A avec un bâton (gnomon) planté
verticalement dans le sol à Alexandrie.
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| FIG2: RAYONS SOLAIRES UN 21 JUIN A MIDI SOLAIRE A ASSOUAN ET ALEXANDRIE |
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Si l’on répète cette expérience sur le trajet entre Assouan
et Alexandrie, le même jour à midi solaire, on va constater que l’angle au
sommet du bâton s’accroit avec la distance, ce qui indique la courbure de la
Terre. C’est à partir de ce simple schéma que la circonférence de la Terre est
calculée. En effet, l’angle A=Ɵ au centre de la Terre est égal à l’angle au
sommet du gnomon (tige ou bâton) d’Alexandrie, car ces deux angles sont alternes-internes.
La tangente de l’angle au sommet du gnomon, donc de A = longueur de l’ombre du gnomon
divisée par sa longueur = m/L. Une fois l’angle A connu, on voit qu’il
correspond à la distance d entre
Syène (Assouan) et Alexandrie que l’on connaît (Fig2). On admet que ces deux
villes sont situées sur le même méridien.
Un angle de 360 degrés correspond à la circonférence cherchée
x de la Terre.
Un angle de A degrés correspond à la distance d entre
Assouan et Alexandrie connue
1 degré correspond à
une distance de d / A
360 degrés correspondent à
x =
d x 360 /A
circonférence de la Terre.
Les travaux menés à Alexandrie ont donné un angle A juste
supérieur à 7°, ce qui a conduit à dire que la circonférence de la Terre est
égale à 50 fois la distance Assouan-Alexandrie(788 km environ).
Les mathématiciens et les astronomes musulmans, à partir du 8ème
siècle, vont perfectionner de telles expériences et inventer « la science
des ombres ou des projections » (علم الظلال). C’est grâce
aux savants musulmans que ces expériences sont parvenues jusqu’à nous. Leurs
travaux trouvaient déjà leur application dans la confection scientifique d’instruments
de mesure du temps et d’orientation comme les cadrans solaires et les
astrolabes. Ces instruments étaient alors hautement recherchés par les
universités européennes pour être étudiés et recopiés. Al Khawarizmi (780-850),
inventeur de l’algèbre, avait calculé,
grâce à eux, la distance entre 2 méridiens en Irak et Al Idrissi (1100-1165),
le grand géographe marocain , avait dressé
une des plus anciennes cartes du monde habité.
APPLICATION :
Mesure de la circonférence de la Terre par les étudiants et les élèves des
lycées au Maroc.
L’expérience pour la
mesure de la circonférence de la Terre a été faite en Égypte, il y a plus de
2000 ans. Nous allons la refaire au Maroc car la latitude de Dakhla est la même
que celle d’Assouan (Syène) et le tropique passe à proximité de ces deux
villes. De plus, nous allons pouvoir la faire à partir de n’importe quel point
du Maroc le même jour, 21 juin 2020. On peut espérer des discussions et un échange d’informations
sur le résultat obtenu d’un lycée à un autre et d’une ville à une autre. Si la
théorie pour cette mesure est enseignée dans quelques très rares lycées,
l’expérience proposée à l’échelle de huit villes d’un même pays est, à ma
connaissance, unique dans le monde.
L’expérience consiste simplement à planter verticalement une tige droite et à en mesurer la longueur
de l’ombre à midi solaire le dimanche 21 juin 2020.
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| Mesure de l'ombre d'une règle perpendiculaire au sol. A partir de tgA = m/L, on calcule l'angle A. |
On pourra aussi
utiliser une simple tige ou encore l’arête verticale d’un mur avec un
repère dont on notera l’ombre. Une hauteur de moins de 1 mètre sera suffisante.
On s’assurera que le sol est bien horizontal.
L = longueur de la
tige et m= longueur de l’ombre de la tige
On calcule l’angle A
avec tg A= m/L . A partir de là, il faut constater que l'angle A au centre de la Terre correspond à l'arc distance entre le lieu de mesure et le tropique soit d. Donc:
1 degré correspond à une longueur d'arc de d/A. Un angle de 360° correspond alors à la circonférence de la Terre
x =360 x d /A. (d est la distance du
lieu d’observation à la ligne du tropique).
Sachant que x = 2πR . Nous avons donc 2πR = 360 x d /A . Donc le rayon de la Terre est : R = 360
x d/2π A (d en km et A en degrés)
Les villes proposées
pour effectuer ces mesures sont : Agadir, Casablanca, Fès, Laayoune,
Marrakech, Oujda, Rabat et Tanger. Avec la carte du Maroc (Google maps) on peut
avoir les distances d de ces
villes à la ligne du tropique de latitude 23° 26’, avec l’échelle indiquée.
En fait, on pourra faire cette expérience dans n’importe quel
lieu du Maroc. Il faudra alors mesurer à la règle sur la carte la distance d du lieu considéré à la ligne du
tropique et par une simple règle de proportionnalité obtenir la distance en
kilomètres.
Notes et explications :
·
Pourquoi faire ces mesures le 21 juin ?
Parce que durant cette journée les rayons solaires sont perpendiculaires au sol le long de la
ligne du tropique quand le soleil est au zénith, c’est-à-dire à midi solaire.
Ces rayons passent alors par le centre de la Terre. Les mesures faites ce jour
dans les villes marocaines, vont donner un angle A qui est de plus en plus grand quand on va de Laayoune à Tanger.
·
Le tropique, une ligne imaginaire de latitude 23°26’,
passe tout près de Dakhla (latitude 23°45’). Les villes retenues ne sont pas
sur le même méridien que celui de Dakhla et pour éviter cette difficulté, on
trace la ligne du tropique et la distance d sera celle de chaque ville à cette
ligne (fig 5).
·
Comment connaitre midi solaire ?
C’est l’heure où le soleil est au plus haut dans le ciel,
c’est-à-dire quand il traverse le plan méridien du lieu d’observation. Au
Maroc, nos montres indiquent la même heure (GMT+1) en juin quel que
soit le lieu, mais l’heure solaire est différente d’un lieu à un autre. C’est
exactement ce qui explique que durant le mois de Ramadan, la rupture du jeûne a
lieu à Casablanca plus tard qu’à Oujda. Les mesures de l’angle A seront faites à midi solaire du lieu
considéré. Pour déterminer midi solaire dans un lieu, on repère l’instant de la
journée où l’ombre de la tige verticale est la plus petite possible. Si l’on
dispose d’une boussole, midi solaire est l’instant où l’ombre de la tige a la
direction nord-sud, soit la direction du méridien du lieu. Enfin, une autre
indication : quelques instants après le midi solaire dans un lieu, c’est
le moment de la prière d’Addohr. Le méridien signifieالزوال.
· A quelle heure
de nos montres correspond le midi solaire dans un lieu ?
Si malgré les indications
précédentes, on veut connaître à l’avance l’heure du midi solaire, le tableau
suivant donne midi solaire du 21 juin 2020, pour les villes retenues.(Ce
calcul se fait par des corrections de longitude et de l’équation du temps).
C'est donc aux heures indiquées dans ce tableau le 21 juin, que l'on procédera à la mesure de la longueur de l'ombre projetée.
Fig 4 : Midi solaire dans les villes et distance au tropique du Cancer
On peut donc, à
partir de ces éléments, calculer la circonférence et le rayon de la Terre, dans
les villes retenues. Il est possible aussi de calculer la latitude du lieu de
la mesure.
Qu’allons-nous trouver comme valeurs
pour la circonférence et le rayon de notre Terre le 21 juin 2020 ?
Les clubs d'astronomie au Maroc sont invités à faire connaître cette expérience:
- Club IBN AL HAÏTAM d'astronomie de FES
- Club Astronomie de MARRAKECH
- Association d"Astronomie de RABAT
- Astro Club de KENITRA
- Club Astro de SALÉ
Pour toute information, E mail: terkmani@menara.ma
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Abdelmalek Terkemani
Expert et chercheur
